Universal Robots Posenformat

Das Posenformat, welches von Universal Robots verwendet wird, besteht aus einer Position \(XYZ\) in Millimetern und einer Orientierung im Angle-Axis Format \(V=(\begin{array}{ccc}RX & RY & RZ\end{array})^T\). Der Rotationswinkel \(\theta\) im Bogenmaß ist die Länge der Rotationsachse \(U\).

\[\begin{split}V = \left(\begin{array}{c}RX \\ RY \\ RZ\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}\theta u_x \\ \theta u_y \\ \theta u_z\end{array}\right)\end{split}\]

\(V\) wird als Rotationsvektor bezeichnet.

Umrechnung vom Angle-Axis Format in Quaternionen

Die Umrechnung von einem Rotationsvektor \(V\) in eine Quaternion \(q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})\) kann wie folgt durchgeführt werden.

Zunächst wird der Winkel \(\theta\) im Bogenmaß aus dem Rotationsvektor \(V\) gewonnen durch

\[\theta = \sqrt{RX^2 + RY^2 + RZ^2}\text{.}\]

Wenn \(\theta = 0\), dann ist die Quaternion gleich \(q=(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1\end{array})\), sonst wird sie berechnet durch

\[\begin{split}x = RX \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ y = RY \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ z = RZ \frac{\sin(\theta/2)}{\theta}\text{,} \\ w = \cos(\theta/2)\text{.}\end{split}\]

Umrechnung von Quaternionen ins Angle-Axis Format

Die Umrechnung von einer Quaternion \(q=(\begin{array}{cccc}x & y & z & w\end{array})\) mit \(||q||=1\) in einen Rotationsvektor im Angle-Axis Format kann wie folgt durchgeführt werden.

Zunächst wird der Winkel \(\theta\) im Bogenmaß aus dem Quaternion gewonnen durch

\[\theta = 2\cdot\text{acos}(w)\text{.}\]

Wenn \(\theta = 0\), dann ist der Rotationsvektor \(V=(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\end{array})^T\), sonst wird er berechnet durch

\[\begin{split}RX = \theta \frac{x}{\sqrt{1-w^2}}\text{,} \\ RY = \theta \frac{y}{\sqrt{1-w^2}}\text{,} \\ RZ = \theta \frac{z}{\sqrt{1-w^2}}\text{.}\end{split}\]